בגרות 2026 קיץ מועד ב – שאלה 3מספרים מרוכבים 572 · שיעור 50
שיעור 50: בגרות 2026 קיץ מועד ב – שאלה 3
מספרים מרוכבים · 5 יחידות · שאלון 572
מספרים מרוכבים · שאלון 572
📄 התרגיל
שאלת המספרים המרוכבים ממועד ב של הבגרות האחרונה: כפל וחילוק בהצגה קוטבית, שורשים מסדר 4 ושטח מרובע במישור גאוס. קודם השאלה המלאה, ואחריה הפתרון סעיף אחרי סעיף 👇
📝 השאלה
נתונים שלושה מספרים מרוכבים (כל הזוויות במעלות; את הזווית מסמנים כאן באות t ):
z1 = r(cost + i · sint)
z2 = 1r(cos(t + 90) + i · sin(t + 90))
w = z1 · z2 + z1z2
0 < t < 90 , r > 0 .
הנקודה A מייצגת את המספר w במישור גאוס. נתון כי שיעור ה־x של הנקודה A הוא −1 .
א.מצאו את הערך של t .
נתון כי הנקודה A נמצאת על הישר y = −1 .
ב.מצאו את הערך של r .
נתונה המשוואה z4 = 128 · (z1 · w)2 . z הוא משתנה מרוכב.
ג.מצאו את ארבעת הפתרונות של המשוואה.
📝 השאלה · המשך
הנקודה O היא ראשית הצירים. כל אחת מן הנקודות B ו־C מייצגת פתרון אחד מבין הפתרונות שמצאתם בסעיף ג. הנקודה B נמצאת ברביע הראשון, והנקודה C נמצאת ברביע השני.
המקום הגאומטרי של כל הנקודות z = x + iy במישור גאוס המקיימות |z| = b חותך את החלק החיובי של ציר ה־y בנקודה K . b הוא מספר ממשי חיובי.
נתון כי שטח המרובע CKBO הוא 7√2 .
ד.מצאו את הערך של b .
סעיף א – הערך של t
מסמנים cis(a) = cos a + i · sin a :
z1 = r · cis(t) , z2 = 1r · cis(t + 90)
המכפלה (מכפילים גדלים, מחברים זוויות):
z1 · z2 = r · 1r · cis(t + t + 90) = cis(2t + 90)
המנה (מחלקים גדלים, מחסרים זוויות):
z1z2 = r1/r · cis(t − (t + 90)) = r2 · cis(−90)
z1z2 = r2(cos(−90) + i · sin(−90)) = r2(0 − i) = −r2 i
המספר w:
w = cos(2t + 90) + i · sin(2t + 90) − r2 i
w = cos(2t + 90) + i[sin(2t + 90) − r2]
· המשך
w = cos(2t + 90) + i[sin(2t + 90) − r2]
החלק הממשי של w הוא שיעור ה־x של A :
cos(2t + 90) = −1
0 < t < 90 , לכן 90 < 2t + 90 < 270 . בתחום הזה הקוסינוס שווה −1 רק בזווית 180° :
2t + 90 = 180
2t = 90
t = 45
✅
תשובה: t = 45°
סעיף ב – הערך של r
A על הישר y = −1 , כלומר החלק המדומה של w הוא −1 . מציבים t = 45 :
sin(2 · 45 + 90) − r2 = −1
sin180 − r2 = −1
0 − r2 = −1
r2 = 1
נתון r > 0 , לכן r = 1 . מכאן w = −1 − i , והנקודה היא A(−1 , −1) .
✅
תשובה: r = 1
סעיף ג – ארבעת הפתרונות
עם t = 45 ו־r = 1 : z1 = cis(45°) , w = −1 − i .
מעבירים את w להצגה קוטבית ( w ברביע השלישי):
|w| = √(−1)2 + (−1)2 = √2
tanθ = −1−1 = 1 , ברביע השלישי: θ = 180 + 45 = 225°
w = √2 · cis(225°)
z1 · w = 1 · √2 · cis(45 + 225) = √2 · cis(270°)
לפי משפט דה־מואבר:
(z1 · w)2 = (√2)2 · cis(2 · 270) = 2 · cis(540°) = 2 · cis(180°)
z4 = 128 · 2 · cis(180°) = 256 · cis(180°)
שורש רביעי: 4√256 = 4
zk = 4 · cis(180 + 360k4) = 4 · cis(45 + 90k)
· המשך
zk = 4 · cis(180 + 360k4) = 4 · cis(45 + 90k)
k = 0: 4 · cis(45°) = 2√2 + 2√2i
k = 1: 4 · cis(135°) = −2√2 + 2√2i
k = 2: 4 · cis(225°) = −2√2 − 2√2i
k = 3: 4 · cis(315°) = 2√2 − 2√2i
בדיקה: (2√2 + 2√2i)2 = 8 + 16i − 8 = 16i , (16i)2 = −256 ✓
✅
תשובה: 4cis(45°)
4cis(135°)
4cis(225°)
4cis(315°)
(± 2√2 ± 2√2i)
4cis(135°)
4cis(225°)
4cis(315°)
(± 2√2 ± 2√2i)
סעיף ד – הערך של b
הפתרון ברביע הראשון: B(2√2 , 2√2) ; הפתרון ברביע השני: C(−2√2 , 2√2) .
המקום הגאומטרי |z| = b הוא מעגל שמרכזו O והרדיוס שלו b . הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה־y בנקודה K(0 , b) .
האלכסון OK (על ציר ה־y ) מחלק את המרובע CKBO לשני משולשים: OKB ו־OKC .
בשניהם הצלע OK = b , והגובה אליה הוא המרחק מציר ה־y : 2√2 .
SOKB = b · 2√22 = √2b
SOKC = b · 2√22 = √2b
SCKBO = 2√2b
2√2b = 7√2
· המשך
2√2b = 7√2
b = 72 = 3.5
בדיקה: 3.5 > 2√2 \approx 2.83 , לכן K מעל הישר BC והמרובע קמור.
✅
תשובה: b = 3.5
✅ סיימנו!
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא